Beautiful Pentagons de Diana Davis

La mathématicienne du Swarthmore College Diana Davis, que j’ai la chance d’appeler une amie, est polyvalente. Son amour combiné des mathématiques et de la course à pied a conduit à une apparition plus tôt dans ce blog, où elle a étudié la question de savoir si, si vous courez un marathon à, disons, un rythme de 7h00 par mile, devez-vous avoir parcouru un mile exactement 7 minutes? Récemment, elle a fabriqué des bijoux, des vêtements, des sous-verres et d’autres objets sur la base de ses recherches sur les trajectoires de billard dans les pentagones. Je lui ai posé des questions sur ses recherches et les belles choses qu’elle en a faites. Vous pouvez trouver ses créations en personne lors de conférences, notamment les réunions conjointes de mathématiques, ou explorer son site Web.

Diana Davis colporte ses articles pentagonaux lors des réunions conjointes de mathématiques en janvier. Crédits: Diana Davis

Tout d’abord, présentez-vous. D’où venez-vous, où êtes-vous allé à l’école et où travaillez-vous maintenant? En dehors des mathématiques, qu’est-ce qui vous passionne?

Je suis originaire du New Hampshire. Je suis allé au Williams College pour le premier cycle et à l’Université Brown pour mon doctorat. Je suis actuellement professeur adjoint invité au Swarthmore College. En dehors des mathématiques, je suis passionné par le bon enseignement, l’équité en toutes choses et la course sur longue distance.

Quel est votre domaine de recherche et quelles sont les questions mathématiques auxquelles vous aimez penser?

Ma recherche porte sur les systèmes dynamiques, principalement dans le billard, qui est l’étude d’une balle (ou d’un point) rebondissant autour d’une forme (généralement un polygone, et souvent un pentagone). Les gens ont compris le billard sur la place depuis plus de cent ans, et c’est à peu près tout: en tant qu’êtres humains, nous ne comprenons le billard sous aucune autre forme, sauf peut-être quelques triangles spéciaux (équilatéraux, isocèles à droite, ce genre de choses) . Je veux donc savoir ce qui se passe avec le billard sur des tables qui sont d’autres formes polygonales.

Diana Davis colporte ses marchandises pentagonales lors des réunions conjointes de mathématiques en janvier 2020. Crédit: Diana Davis

La question qui m’a conduit pendant de nombreuses années était: supposons que vous ayez une balle sur une table de billard pentagone régulière, et que vous choisissez une direction pour frapper votre balle, et vous savez que le chemin de la balle va être périodique: la balle va rebondir pendant un certain temps, puis revenez à l’endroit où il a commencé et répétez. Combien de fois rebondira-t-il avant de se répéter – comment obtenir ces informations de la direction? Pour le carré, si la pente du chemin (en supposant que les bords du tableau sont horizontaux et verticaux) est rationnelle, alors vous savez que le chemin sera périodique, et si la pente est p / q en termes les plus bas, alors la balle rebondir 2 fois (p + q) avant de se répéter. C’est un beau résultat, et je voulais le généraliser au pentagone régulier.

Qu’est-ce qui est si génial avec les pentagones? Les avez-vous aimés avant qu’ils ne deviennent une partie si importante de votre travail, ou votre amour pour les pentagones a-t-il grandi au fur et à mesure de vos recherches?

Cinq a toujours été mon numéro préféré. Ce n’est pas pourquoi j’ai étudié le pentagone. La raison principale pour l’étudier est que c’est, dans un certain sens, le polygone régulier « le plus simple suivant » après le carré – après tout, un carré a 4 côtés et un pentagone en a 5. On peut dire que l’octogone régulier est un peu plus simple, car c’est juste un carré avec les coins coupés. En effet, John Smillie et Corinna Ulcigrai avaient fait un peu de travail sur l’octogone régulier, et mon doctorat. Le conseiller m’a dit de lire leur article sur l’octogone et de voir si je pouvais utiliser les mêmes stratégies pour comprendre le pentagone ordinaire. En effet je pourrais! C’est ainsi que j’ai commencé avec le pentagone. Dans ce cas, j’étudiais en fait une surface faite de deux pentagones, que vous pouvez voir dans ma vidéo de danse virale.

Cutting Sequences on the Double Pentagon, expliqué à travers la danse de Diana Davis sur Vimeo.

Puis j’étais à une conférence à Oberwolfach au printemps 2014, et Samuel Lelièvre est venu vers moi. Il m’a dit qu’il aimait ma vidéo sur la surface du double pentagone et que nous devrions travailler ensemble pour comprendre le billard sur la table de billard pentagone ordinaire. Nous y travaillons depuis.

Comment vous est venue l’idée de commencer à faire de jolies choses à partir de votre travail, et quelles jolies choses faites-vous en ce moment?

À l’été 2017, je travaillais dans le cluster de recherche de Moon Duchin à l’Université Tufts. Elle nous a laissé prendre le temps de nous former sur l’équipement du Tufts’s Makerspace. Avant cela, je ne m’intéressais pas aux découpeurs laser ni à aucune sorte d’activités Makerspace, mais après avoir appris à les utiliser, j’ai soudainement voulu essayer toutes sortes de choses. Les premières choses que j’ai faites ont été des sous-verres – des pentagones en plastique d’environ 5 pouces de diamètre, gravés de trajectoires périodiques de billard. Mais bien que les sous-verres soient faciles à faire, la demande en sous-verres est vraiment faible. J’imagine que beaucoup de gens ont environ cinq à dix fois plus de caboteurs qu’ils utilisent réellement.

Illustrations des trajectoires de billard sur les pentagones. Crédits: Diana Davis

Un jour, j’ai eu l’idée de faire des boucles d’oreilles, probablement juste pour ma colocataire – je n’ai pas les oreilles percées moi-même – et j’ai fait quelques paires de testeurs. Dès que j’ai eu cette idée et que les paires de tests se sont bien déroulées, j’ai réalisé que j’étais vraiment sur quelque chose. Vous voyez, presque tout le monde porte des boucles d’oreilles. Je ne savais pas que lorsque j’ai commencé ce projet – encore une fois, je n’ai pas d’oreilles percées – mais j’ai constaté qu’environ 90% des (femmes) mathématiciens ont des oreilles percées. Et, contrairement aux sous-verres, les gens sont toujours heureux d’avoir une autre paire de boucles d’oreilles.

La grande chose au sujet des boucles d’oreilles est qu’elles sont un bon déclencheur de conversation. J’ai du mal à parler à de nouvelles personnes. Donc, ma nouvelle stratégie est que s’il y a quelqu’un à qui je veux parler, je me dirige vers eux, ouvre ma boîte de boucles d’oreilles et leur offre une paire. Les boucles d’oreilles sont magnifiques, donc la personne est généralement satisfaite de cette offre, et les choses fonctionnent très bien. De plus, les gens posent généralement des questions de suivi, comme « quels sont les modèles? » et « c’est votre recherche?! Quelle est votre recherche? » ce qui, pour le dire à la légère, n’est pas la réponse que vous obtenez habituellement lorsque vous dites à la personne à côté de vous dans l’avion que vous êtes un mathématicien. Mon objectif est de mettre les mathématiques furtives dans la culture populaire. J’aimerais qu’un détaillant normal porte mes boucles d’oreilles, la façon dont ils portent les bracelets Alex et Ani et ce genre de chose, et les gens les achèteraient parce qu’ils sont beaux, et personne ne saurait même qu’ils sont mathématiques. Peut-être que cela pourrait être une rumeur qui est sortie plus tard, dans les tabloïds. D’un autre côté, j’ai nommé ma société de boucles d’oreilles « Math is beautiful », qui est une publicité furtive pour les mathématiques, parce que lorsque les gens parlent de ma toute jeune entreprise, je les ai trompés en disant à haute voix « les mathématiques sont belles ».

Ces jours-ci, je fais deux ou trois choses. Pour les boucles d’oreilles, la plus jolie chose que je fais est d’utiliser du plastique coloré translucide et de découper l’espace négatif, où la trajectoire n’est pas. Je prends également des feuilles de bois massif et je grave une trajectoire d’un côté, puis quelques informations sur la trajectoire, comme «101 courte trajectoire» de l’autre côté. Je les donne avant mes entretiens, puis les gens demandent: « qu’est-ce que 101? Que signifie » trajectoire courte « ? » et je dis: « venez parler! » Ensuite, les gens ont une raison de prêter attention aux différentes parties de la conversation, afin qu’ils puissent comprendre les informations au verso et qu’ils obtiennent également quelque chose à emporter avec eux. [Readers can check out Davis’s and Lelièvre’s paper about these trajectories here.]

Pendentifs pentagonaux en bois de Davis gravés avec des trajectoires de billard. Crédits: Diana Davis

Sans lien avec mes recherches, j’ai découpé des lézards en mosaïque, basés sur la gravure sur bois d’Escher de 1943. Je les garde sur ma table, et il est extrêmement satisfaisant de les assembler comme un puzzle, car ils se mettent en place avec un clic satisfaisant. Mes élèves les aiment et cela les aide à avoir quelque chose à voir avec leurs mains lorsqu’ils parlent avec moi.

Comment avez-vous appris ce dont vous aviez besoin pour commencer à fabriquer des objets et comment avez-vous eu accès au bon équipement?

J’ai appris les bases de la découpe laser au Makerspace de Tufts. Puis j’ai commencé à travailler chez Swarthmore quelques mois plus tard, et j’ai été ravi de constater qu’il y avait aussi un cutter laser ici. J’ai fait toutes mes expériences avec des matériaux et des méthodes ici à Swarthmore, et comme avec la plupart des choses, j’ai appris en essayant des choses, en échouant et en essayant autre chose.

Si vous souhaitez découper des objets au laser, il est important d’avoir accès au découpeur laser de quelqu’un d’autre, plutôt que de posséder le vôtre. Un découpeur laser a la taille d’un congélateur coffre, coûte environ 40000 $, doit avoir une ventilation directe vers l’extérieur (il ne peut donc pas être dans un sous-sol ou une pièce intérieure) et peut facilement déclencher des incendies ou exploser s’il est laissé sans surveillance. Ils ont également besoin d’un entretien fréquent. Pour ces raisons, c’est formidable de pouvoir utiliser la machine de quelqu’un d’autre.